勾股生变十三名图
①。勾、股、弦并而为和，减而为较，等而为变为段，自乘为积为幂。有用而取，无用不取，立图而验之。
| | 勾 | 股 | 弦 | 勾
股
较 | 勾
弦
较 | 股
弦
较 | 勾
股
和 | 勾
弦
和 | 股
弦
和 | 弦
较
和 | 弦
和
和 | 弦
和
较 | 弦
较
较 |
释
名 | 直
田
阔 | 直
田
长 | 田
两
隅
长 | 勾
减
股 | 勾
减
弦 | 股
减
弦 | 勾
共
股 | 勾
共
弦 | 股
共
弦 | 弦
与
勾
减
股
共 | 勾
股
共
弦 | 弦
减
勾
股
共
数 | 以
弦
减
勾
股
较 |
假
令
数 | 八 | 十
五 | 十
七 | 七 | 九 | 二 | 二
十
三 | 二
十
五 | 三
十
二 | 二
十
四 | 四
十 | 六 | 十 |
变
改 | 二
段 | 三
段 | 四
段 | 一
段 | 二
段 | 一
段 | 五
段 | 六
段 | 七
段 | 五
段 | 九
段 | 一 | 三
段 |
勾
股
较 | | 一 | 一 | 一 | 一 | | 一 | 一 | 二 | 二 | 二 | | |
股
弦
较 | 一 | 一 | 二 | | 一 | 一 | 二 | 三 | 三 | 二 | 四 | | 二 |
弦
和
较 | 一 | 一 | 一 | | | | 二 | 二 | 二 | 一 | 三 | 一 | 一 |
自
乘
积
数 | 六
十
四 | 二
百
二
十
五 | 二
百
八
十
九 | 四
十
九 | 八
十
一 | 四 | 五
百
二
十
九 | 六
百
二
十
五 | 一
千
二
十
四 | 五
百
七
十
六 | 一
千
六
百 | 三
十
六 | 一
百 |
《九章算术·勾股》宋·贾宪细草
(见《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》)
〔注〕①此指勾、股、弦的十三种简单的和差关系，设勾a,股b,弦c,则勾股较为b-a,勾弦较为c-a,股弦较为c-b,勾股和为c+b,勾弦和为c+a,股弦和为c+b,弦较和为c+(b-a),弦和和为(a+b)+c,弦和较为(a+b)-c,弦较较为c-(b-a)。“变改”即此十三事可变成勾股较、股弦较、弦和较的段数的恒等变换。如勾可以变成一股弦较与一弦和较，共二段：a=(c-b)+[(b+a)-c]。
【评】此勾股生变十三名图包括了勾、股、弦三者所有的简单和差关系，较《九章算术》和刘徽有了较大发展，是为贾宪对这一课题的完满总结。