2023浙江省十校联盟联考数学试题

2023浙江省十校联盟数学联考试题
    

考生须知：
    

1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
    

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
    

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
    

4.考试结束后，只需上交答题卷。
    

参考公式：
    

如果事件A，B互斥那么，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
    

如果事件A，B相互独立，那么，P(AB)＝P(A)P(B)
    

如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cnkpk(1－P)n－k(k＝0，1，2，..，n)
    

台体的体积公式，其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示为台体的高
    

柱体的体积公式V＝Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
    

锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
    

球的表面积公式S＝4πR2
    

球的体积公式，其中R表示球的半径
    

选择题部分
    

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
    

1.若集合，则A∩B＝
    

A.Φ     B.{0，1}        C. {0，1，2}      D. {－2，0，1，2}
    

2.己知双曲线的两条渐近线互相垂直，则b＝
    

A.1       B.       C.        D.2
    

3.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f(x)的零点个数为
    

A.0     B.1     C.2       D.3
    

4.若实数x，y满足约束条件，则z＝x＋y的取值范围是
    

A.[－7，2]     B. [－1，2]      C.[－1，＋∞)     D. [2，＋∞)
    

5.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
    

A.      B.       C. π       D.2π
    

6.设xR，则“x≤2”是“”的
    

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件    C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件
    

7.在同一直角坐标系中，函数y＝a1－x，y＝loga(x－1)(a>0，且a≠1)的图象可能是
    

8.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是
    

A.72      B.144      C.150      D.180
    

9.在△ABC中，若，则
    

A.1       B.       C.       D.
    

10.在正方体ABCD－A'B'C'D'中，点E，F分别是棱CD，BC上的动点，且BF＝2CE。当三棱锥C－C'EF的体积取得最大值时，记二面角C－EF－C'，C'－EF－A'，A'－EF－A的平面角分别为α，β，γ，则
    

A. α>β>γ       B. α>γ>β      C.β>α>γ       D.β>γ>α
    

非选择题部分
    

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
    

11.复数(i是虚数单位)，则＝       ，其共扼复数＝     
    

12.的展开式的各个二项式系数的和为       ，含的项的系数是       
    

13.已知圆C：x2＋y2＝4与圆D：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0相交于A，B两点，则两圆连心线CD的方程为          ，两圆公共弦AB的长为          
    

14.在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB＝       。若D是AB的中点，则CD＝               
    

15.1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”。1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果。若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是            。
    

16.己知F是椭圆C：的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径。设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为              。
    

17.若数列{an}满足，且对任意nN*，有an＋1>an，则a1的取值范围是     
    

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    

18.(本小题满分14分)己知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，)。
    

(Ⅰ)求的值；
    

(Ⅱ)求函数f(x)＝sin2(x＋α)－cos2 (x－α)(xR)的最小正周期与单调递增区间。
    

19.(本小题满分15分)如图，平面ABC⊥平面DBC，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝1200。
    

(Ⅰ)求证：AD⊥BC；
    

(Ⅱ)求直线AB与平面ADC所成角的余弦值。
    

20.(本小题满分15分)己知等差数列{an}的前n项和为Sn(nN*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9。
    

数列{bn}满足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1 (n≥2，nN*)。
    

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
    

(Ⅱ)求数列{anbn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值。
    

21.(本小题满分15分)己知抛物线y2＝2px(p>0)过点P(m，2)，且P到抛物线焦点的距离为2。
    

直线l过点Q(2，－2)，且与抛物线相交于A，B两点。
    

(Ⅰ)求抛物线的方程；
    

(Ⅱ)若点Q恰为线段AB的中点，求直线l的方程；
    

(Ⅲ)过点M(－1，0)作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线?若能，求出直线l的斜率k；若不能，请说明理由。
    

22.(本小题满分15分)已知函数，其导函数设为g(x)。
    

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
    

(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，试用a，b表示f(x1)＋f(x2)；
    

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若g(x)的极值点恰为f(x)的零点，试求f(x)，g(x)这两个函数的所有极值之和的取值范围。