高中数学直线的斜率怎么求？

直线与方程
    

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倾斜角和斜率
    

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
    

2、 倾斜角α的取值范围：??? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
    

3、直线的斜率:
    

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα
    

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
    

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
    

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
    

4、 直线的斜率公式:
    

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
    

?? 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1???? ????
    

两条直线的平行与垂直
    

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
    

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
    

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
    

直线的点斜式方程
    

1、? 直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为?????
    

2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为???
    

直线的两点式方程
    

1、直线的两点式方程：已知两点其中??? y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
    

2、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中
    

直线的一般式方程
    

1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）
    

2、各种直线方程之间的互化。
    

直线的交点坐标与距离公式
    

两直线的交点坐标
    

1、给出例题：两直线交点坐标
    

L1 ：3x+4y-2=0??? L1：2x+y +2=0????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    

解：解方程 ??????????????????????
    

得 x=-2，y=2
    

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
    

1、两点间距离
    

两点间的距离公式
    

2、点到直线的距离公式
    

1．点到直线距离公式：
    

点到直线的距离为：
    

2、两平行线间的距离公式：
    

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
    

：，则与的距离为
    

直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度．
    

1　借助直线的斜率巧解应用题
    

　　例1　某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
    

　　解　建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值．
    

　　由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线AC、BC的斜率分别为：
    

kAC=tanxCA=，．
    

　　于是tanACB=
    

　　由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0)，因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳．
    

　　点评　本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题．
    

2　借助直线的斜率比较大小
    

　　例2　设M=，则M与N的大小关系为(??? )
    

　　A．M＞N??????? B．M=N????????????? ????????????? ????????????? C．M＜N???????? D．无法判断　　　　解析　将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N．答案：A．
    

　　点评　如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理．
    

3　借助直线的斜率求直线的方程
    

　　例3．过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点，求（1）△ABO面积的最小值，及相应的直线方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值时，求直线的方程．
    

　　解析　显然直线效率存在，设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)，得点A(),? B(0,1-2k)，（1）S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-)，
    

∵k<0? ∴S△ABO≥4，此时即直线为x＋2y－4=0．
    

　　（2）︱PA︱·︱PB︱=,? 此时即直线为x＋y－3=0．
    

4　构造直线斜率证明不等式问题
    

　　例4．已知a、b、m都是正实数，并且a<b，求证：．
    

　　证明　如图，在平面直角坐标系内，设点，点． 由m>0和0<a<b知点A在直线y=x在第三象限的图像上，点B在直线y=x在第一象限的图像的下方，于是可得斜率，即，原不等式得证．
    

　　点评　这是新教材高二数学上册上的一道例题．教材上是用比较法去进行证明的，但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式．
    

5　构造直线斜率解决变量或参数范围问题
    

　　例5　若在圆上运动，求的取值范围．
    

　　解　因为是直线OP（的斜率，在圆上，当p点是由原点O向圆作切线的切点时，取到最大值与最小值．
    

　　设直线OP的斜率为k，直线OP的方程为y=kx，圆心C的坐标为，半径为．由于圆心C到切线的距离等于半径，于是可得方程：，解得．所以的取值范围为．
    

　　点评　可以看成是点与原点连线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：设k=，得函数y=kx．于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数y=kx所对应直线的斜率的取值范围问题．