如何判断函数的对称性与周期性

    函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。对称性考查的频率一直比较高，如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，尤其是抽象函数的对称性判断。
    
    对称性的概念
    ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
    ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
    函数的几种变换
    1、平移变换
    函数y=f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)的图像;向上平移b个单位得到函数y=f(x)+b的图像;左平移a个单位得到函数y=f(x+a)的图像;向下平移b个单位得到函数y=f(x)-b的图像(a，b>0)。
    2、伸缩变换
    函数y=f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(0<k<1时，缩;k>1时，伸)得到函数y=kf(x)的图像;
    函数y=f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(0<k<1时，伸;k>1时，缩)得到函数y=f(kx)的图像(k>0，且k≠1)。
    3、对称变换
    (1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x);
    关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。
    (2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。
    (3)绝对值问题
    ①函数y=f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数y=|f(x)|的图像;
    ②函数y=f(x)y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y=f(|x|)的图像;
    ③函数y=f(x)先用第②步的方法得到函数y=f(|x|)的图像，再平移a个单位得到函数y=f(|x-a|)图象。
    对称性的运用
    1、求值
    “配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。
    2、“对称性+对称性”可以推导出周期性
    两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。
    3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性
    这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。
    4、三角函数的奇偶性
    几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个)。
    5、关于y=x对称的应用
    (因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1)
    6、对称性的本义
    对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。