高中数学三角函数公式

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三角函数
    

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考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
    

考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．
    

解题思路：
    

其关键是审清题意，画出图形，建立解三角形模型，最后解答。
    

1、解应用题的一般步骤是：（1）分析：审题、理解题意，分清已知与未知，根据题意画出示意图；（2）建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量与求解量集中在一个三角形中；（3）求解：运用正弦定理、余弦定理及面积公式等有序地解出这些子三角形，求得数学模型的解。（4）检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
    

2、解应用题中的几个角的概念（1）仰角、俯角（2）方向角（3）方位角
    

三角函数? 知识要点
    

1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
    

②终边在x轴上的角的集合：
    

③终边在y轴上的角的集合：
    

④终边在坐标轴上的角的集合：
    

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
    

⑥终边在轴上的角的集合：
    

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
    

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
    

⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
    

⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
    

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745? 1=57.30°=57°18′
    

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
    

、弧度与角度互换公式：? 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．???? 1°＝≈0.01745（rad）
    

3、弧长公式：.?????? 扇形面积公式：
    

4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则? ；? ；? ；? ；? ；. .
    

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
    

6、三角函数线
    

?? 正弦线：MP;?? 余弦线：OM;??? 正切线： AT.
    

7. 三角函数的定义域：
    

8、同角三角函数的基本关系式：? ?
    

???
    

9、诱导公式：
    

“奇变偶不变，符号看象限”
    

三角函数的公式：（一）基本关系
    

公式组二????????????????? 公式组三
    

??????????? ??????????????????????????????? ? ???
    

公式组四?????????????? 公式组五?????????????? 公式组六????????????
    

? ? ?????????????????????
    

（二）角与角之间的互换
    

公式组一????????????????????????????????? 公式组二
    

??
    

??
    

?? ???
    

??
    

?????????? ??
    

??????????
    

公式组三??????????????????? 公式组四??????????????????????????????????? 公式组五
    

???????
    

??
    

????
    

,,,.
    

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
    

注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
    

②与的周期是.
    

③或（）的周期.
    

的周期为2（，如图，翻折无效）.
    

④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.
    

⑤当·；·.
    

⑥与是同一函数,而是偶函数，则
    

.
    

⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
    

⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
    

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
    

奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
    

⑨不是周期函数；为周期函数（）；
    

是周期函数（如图）；为周期函数（）；
    

的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
    

.
    

⑩ 有.
    

11、三角函数图象的作法：
    

１）、几何法：
    

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
    

３）、利用图象变换作三角函数图象．
    

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
    

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
    

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）
    

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
    

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
    

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
    

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
    

4、反三角函数：
    

函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．
    

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
    

函数y＝tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．
    

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
    

反三角函数：⑴反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）
    

注：，，.
    

⑵反余弦函数非奇非偶，但有，.
    

注：①，，.
    

②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.
    

⑶反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，
    

，.
    

注：，.
    

⑷反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.
    

，.
    

注：①，.
    

②与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足.
    

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
    

的取值范围?? 解集???????????????????????????? 的取值范围?? 解集
    

①的解集?????????????????????????????? ②的解集
    

＞1????????? ????????????????????????????? ＞1???????????
    

=1????? ??????????? =1??
    

＜1???? ?????? ＜1?
    

③的解集：???
    

③的解集：
    

二、三角恒等式.
    

组一
    

组二
    

组三 三角函数不等式
    

＜＜??????????? 在上是减函数
    

若，则
    

经典例题：