高中数学如何判断函数的奇偶性


    

函数的奇偶性
    

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知识点概述
    

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义; 
    

2. 学会判断函数的奇偶性; 
    

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
    

一、定义
    

对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)为奇函数;
    

对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)为偶函数;
    

奇函数:关于原点对称。(做题时可考虑特殊值法),f(0)=0)。F(-x)= -f(x)
    

偶函数:关于y轴对称。F(-x)=f(x)
    

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二、函数f(x)的奇偶性
    

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
    

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
    

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
    

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
    

说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
    

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
    

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
    

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
    

三、性质
    

  (1)函数依据奇偶性分类可分为:奇函数非偶函数,偶函数非奇函数,既奇且偶函数,非奇非偶函数;
    

  (2) f(x),g(x)的定义域为D;
    

  (3)图象特点:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;
    

  (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,奇函数f(x)在原点处有定义,则有f(0)=0;
    

  (5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式:f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数,h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数;
    

  (6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
    

四、奇偶函数图像的特征
    

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
    

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
    

点(x,y)→(-x,-y)
    

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
    

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
    

五、奇偶函数运算
    

(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数。
    

(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数。
    

(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
    

(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
    

(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
    

(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
    

六、拓展延伸
    

  (1)一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量x,都有f(a+x)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;
    

  (2)一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x),则它的图象关于x=a成轴对称。
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利用函数的奇偶性求值
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利用函数的奇偶性和单调性比较值的大小
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利用奇偶性求函数解析式
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