幂等矩阵的特征值

    0或者1。幂等矩阵的特征值只可能是0，1。若A为方阵，且A2=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。
    
    幂等矩阵的主要性质：
    幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
    幂等矩阵可对角化；
    幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；
    可逆的幂等矩阵为E；
    方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
    幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；
    幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；
    A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
    设A?，A?都是幂等矩阵，则(A?+A?)为幂等矩阵的充分必要条件为：A?·A?=A?·A?=0，且有：R(A?+A?)=R(A?)⊕R(A?)；N(A?+A?)=N(A?)∩N(A?)；
    设A?，A?都是幂等矩阵，则(A?-A?)为幂等矩阵的充分必要条件为：A?·A?=A?·A?=A?，且有：R(A?-A?)=R(A?)∩N(A?)；N(A?-A?)=N(A?)⊕R(A?)；
    设A?，A?都是幂等矩阵，若A?·A?=A?·A?，则A?·A?为幂等矩阵，且有：R(A?·A?)=R(A?)∩R(A?)；N(A?·A?)=N(A?)+N(A?)。