2021年全国甲卷高考文科数学试题【word精校版】


    

 
    

绝密★启用前
    

202l年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)
    

文科数学
    

注意事项:
    

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
    

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    

1.设集合,则
    

A. B. C. D.
    

2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
    

截图_20211807091813
    

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是
    

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
    

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
    

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
    

D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
    

3.已知,则
    

A. B. C. D.
    

4.下列函数中是增函数的为
    

A. B. C. D.
    

5.点到双曲线的一条渐近线的距离为
    

A. B. C. D.
    

6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(
    

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
    

7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如右图所示,则相应的侧视图是
    

截图_20212007092042
    

A.截图_20213207063201 B.截图_20213207063207 C.截图_20213207063212 D.截图_20213207063217
    

8.在中,已知,则
    

A.1 B. C. D.3
    

9.记为等比数列的前n项和.若,则
    

A.7 B.8 C.9 D.10
    

10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为
    

A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
    

11.若,则
    

A. B. C. D.
    

12.设是定义域为R的奇函数,且.若,则
    

A. B. C. D.
    

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    

13.若向量满足,则_________.
    

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为,则该圆锥的侧面积为________.
    

15.已知函数的部分图像如图所示,则_______________.
    

C:\Users\Administrator\AppData\Local\Temp\tianruoocr\截图_20212507092549.png
    

16.已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.
    

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
    

(一)必考题:共60分.
    

17.(12分)
    

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
    

 
    

一级品
    

二级品
    

合计
    

甲机床
    

150
    

50
    

200
    

乙机床
    

120
    

80
    

200
    

合计
    

270
    

130
    

400
    

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
    

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
    

附:
    


    

0.050
    

0.010
    

0.001
    

k
    

3.841
    

6.635
    

10.828
    

18.(12分)
    

为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
    

19.(12分)
    

已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为的中点,
    

C:\Users\Administrator\AppData\Local\Temp\tianruoocr\截图_20212807092829.png
    

(1)求三棱锥的体积;
    

(2)已知D为棱上的点,证明:
    

20.(12分)
    

设函数,其中
    

(1)讨论的单调性;
    

(2)若的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.
    

21.(12分)
    

抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且与l相切.
    

(1)求C,的方程;
    

(2)设是C上的三个点,直线均与相切.判断直线的位置关系,并说明理由.
    

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
    

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
    

在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
    

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
    

(2)设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点.
    

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
    

已知函数
    


    

(1)画出的图像;
    

(2)若,求a的取值范围.