2021年全国甲卷高考文科数学试题【word精校版】


    

 
    

绝密★启用前
    

202l年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
    

文科数学
    

注意事项：
    

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
    

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
    

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
    

1．设集合，则
    

A． B． C． D．
    

2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
    

截图_20211807091813
    

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
    

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
    

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
    

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
    

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
    

3．已知，则
    

A． B． C． D．
    

4．下列函数中是增函数的为
    

A． B． C． D．
    

5．点到双曲线的一条渐近线的距离为
    

A． B． C． D．
    

6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）
    

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
    

7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
    

截图_20212007092042
    

A．截图_20213207063201 B．截图_20213207063207 C．截图_20213207063212 D．截图_20213207063217
    

8．在中，已知，，，则
    

A．1 B． C． D．3
    

9．记为等比数列的前n项和．若，，则
    

A．7 B．8 C．9 D．10
    

10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
    

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
    

11．若，则
    

A． B． C． D．
    

12．设是定义域为R的奇函数，且．若，则
    

A． B． C． D．
    

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
    

13．若向量满足，则_________．
    

14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为________．
    

15．已知函数的部分图像如图所示，则_______________．
    

C:\Users\Administrator\AppData\Local\Temp\tianruoocr\截图_20212507092549.png
    

16．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
    

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
    

（一）必考题：共60分．
    

17．（12分）
    

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
    

 
    

一级品
    

二级品
    

合计
    

甲机床
    

150
    

50
    

200
    

乙机床
    

120
    

80
    

200
    

合计
    

270
    

130
    

400
    

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
    

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
    

附：，
    


    

0.050
    

0.010
    

0.001
    

k
    

3.841
    

6.635
    

10.828
    

18．（12分）
    

记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
    

19．（12分）
    

已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，．
    

C:\Users\Administrator\AppData\Local\Temp\tianruoocr\截图_20212807092829.png
    

（1）求三棱锥的体积；
    

（2）已知D为棱上的点，证明：．
    

20．（12分）
    

设函数，其中．
    

（1）讨论的单调性；
    

（2）若的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
    

21．（12分）
    

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
    

（1）求C，的方程；
    

（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
    

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
    

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
    

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
    

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
    

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
    

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
    

已知函数．
    


    

（1）画出和的图像；
    

（2）若，求a的取值范围．
    

 
    

 
    


    
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